均值定理计算器

在线平均值定理计算器可帮助您使用平均值定理找到函数的变化率。此外，这个罗尔定理计算器显示了给定函数的区间的推导。在这种情况下，您可以理解均值定理及其特殊情况，称为罗尔定理。

什么是均值定理？

在数学中，均值定理用于评估函数的行为。均值定理断言，如果 f 在闭区间 [a， b] 上是连续函数，并且在开区间 （a， b） 上是可微的，则在开区间 （a， b） 上至少有一个点 c，则均值定理公式为：

$$f' （c） = [f（b） – f （a）] / b – a$$

积分的均值定理

积分的平均值定理指出，直线的斜率在曲线上的两个不同点（光滑）合并，将与切线到曲线在两个单独点之间的特定点的斜率完全相同。设 f 为 [a， b] 上的函数。则 c 的平均 f （c） 为

$$1/ b – a∫_a^b f（x） d（x） = f （c）$$

（图片仅供参考）

在线积分计算器 可以帮助您评估函数相对于所涉及的变量的积分。

例：

求区间 [4,8] 上 f （x）=11x^2 - 6x - 3 的值。

解决方案：

在给定的方程中，（f）在[4,8]上是连续的。

$$F （C） = 1/b – a ∫ f（x） dx = 1/ 8 – 4∫_4^8 （11x^2 – 6x – 3） dx$$

$$= 1/4 [x^3 – x^2]^8_4$$

$$= 1/4 [（216 – 36） – （8 – 4）]$$

$$= 1/4 [（180 – 4）]$$

$$= 176/4 = 44$$

这里 c 的值是 44，提供给定函数的平均值。

现在将 x=16 放入函数中。

$$f（x）=11x^2 - 6x - 3 = 44$$

$$=11x^2 - 6x - 47$$

$$=（x + 2.32）（x - 2.80）=0$$

因此 2.80 是 c 的值。当您在其中插入相似的值和区间时，在线平均值定理计算器会给出相同的结果。

柯西均值定理

柯西均值定理是均值定理的推广。它指出：如果函数 g 和 f 在结束区间 [a， b] 上都是连续的，并且在起始区间 （a， b） 上是可微的，则存在 c e（a， b），使得

$$（f （b） – f （a）） g'c = （g（b） – g （a）） f'c$$

这里是 g （a） ≠ g （b） 和 g' （c） ≠0，所以这相当于：

$$f'（c） / g'（c） = f（b） – f（a）/ g（b） – g（a）$$

在线导数计算器 有助于找到函数相对于给定变量的导数。

示例：

找到一个值“C”，即平均值定理的结论：f（x） = -4x^3 + 6x - 2 在区间 [-4 ， 2] 上。

解答：

f（x） 是一个多项式函数，对于所有实数都是可微的。设在 x = -4 且 x = 2 处计算 f（x）

$$f（-4） = -4（-4）^3 + 6（-4） - 2 = 20$$

$$f（2） = -4（2）^3 + 6（2） - 2 = - 4$$

现在，代入 [f（b） - f（a）] / （b - a） 中的值

$$[f（b） - f（a）] / （b - a） = [-6 - 4] / （2 – （-4）） = -2$$

现在让我们找到 f '（x）

$$f '（x） = - 6x^2 + 6$$

我们现在创建一个方程，该方程基于 f '（c） = [f（b） - f（a）] / （b - a）

$$-6c + 6 = -2$$

您可以使用平均值定理计算器找到 c 的值：

$$c = 2 \sqrt{（1/3）} 和 c = - 2 \sqrt{（1/3）}$$

罗尔定理：

罗尔定理说，如果可微函数 （f） 的结果在区间的终点相等，那么必须有一个点 c，其中 f '（c）=0。

 

例：

求区间 [−4,0] 中点 c 的所有值，使得 f′（c）=0.其中 f（x）=x^2+2x。

答：

首先，检查满足罗尔定理所有状态的函数 f（x）。

1. f（x） 是 [−4,0] 中的连续函数，作为二次函数;
2. 它在起始间隔 （-4,0） 内是可微分的;

$$f（−2）=（−4）2+2⋅（−4）=0$$ $$f（0）=02+2⋅0=0$$

$$f（−4）=f（0）$$

所以我们可以使用罗尔定理计算器来找到点 c

$$f′（x）=（x2+2x）′=2x+2$$

现在，求解方程 f′（c）=0：

$$f′（c）=2c+2=0$$

$$c=−1$$

因此

$$f′（c）=0 表示 c=−1$$

均值定理计算器如何工作？

这个免费的罗尔定理计算器可用于通过以下步骤计算带有定理的函数的变化率：

输入：

• 首先，为不同的变量（如 x、y、z）输入一个函数。
• 现在，输入连续函数的开始和结束间隔
• 单击“计算”按钮以查看结果

输出：

• 均值定理计算器提供了答案
• 显示输入函数的派生

常见问题：

谁证明了均值定理？

1691年，M Rolle证明了均值定理的一种限制形式;其结果就是现在被称为Rolle定理的定理，并在没有微积分方法的情况下被证明为多项式。最新形式的均值定理，由奥古斯丁·柯西 （Augustin Cauchy） 于 1823 年证明。

第一均值定理是什么意思？

f（b）−f（a） = f′（c）（b−a）。该定理也称为第一均值定理，它允许通过导数在中间点的值来显示给定函数 （f） 在特定区间上的增量。

使用这个方便的平均值定理计算器，它可以让您找到函数的变化率，如果 f 在闭区间上是连续的，并且在开区间上是可微的，则区间中存在一个点 c。平均值定理公式很难记住，但您可以使用我们的免费在线罗尔斯定理计算器，它可以在几分之一秒内为您提供 100% 准确的结果。